Efeito Hall Quˆantico de Spin

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Silvana Botelho Mirandela
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1 Efeito Hall Quˆantico de Spin Carlos Augusto Mera Acosta Teoria quântica de Muitos Corpos Prof. Luis Gregorio Dias Departamento de Física dos Materiais Instituto de Física Universidade de São Paulo 2013

2 Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

3 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Quebra espontˆanea de simetria - classificação da matéria The broken symmetry principle Tabela: Exemplos de quebras de simetria. Fenômeno Parâmetro de ordem Cristal Onda de densidade Ferromagneto Magnetização Condensado de População do estado Bose-Einstein k = 0 Supercondutor Correlação de pares de Cooper k k c k c k+g ( c k c k c k c ) k a k=0 ck c k

4 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Cristal Jose R. Alvarez e Peter Rez. Solid State Communications, Vol. 108, No. 1, 37. (1998).

5 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Semicondutores Zinc blende James R. Chelikowsky and Marvin L. Cohen PRB Vol. 14, No. 556, (1976).

6 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Efeito Hall Quˆantico D. J. Thouless et al., Phys. Rev. Lett 49, 405 (1982). Y. G. Yao et al., Phys. Rev. Lett 92, (2004). Checkelsky J. G. et al., Nature Physics 8, (2012).

7 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Efeito Hall Quˆantico de Spin

8 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Efetio Hall Quˆantico Explicação teórica: Electrodinâmica Clássica R H = V H I = B

9 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Efetio Hall Quˆantico Explicação teórica: Electrodinâmica Clássica R H = V H I = B ρec d p dt = F = q E + qb c (v yî + v x ĵ) E y = B c v x E y = B c J x E y J x = V H I Aspectos geométricos: = B ρec J i = σ i j E j, ( ) 1 eρ sendo σ xx = σ yy = 0 e σ yx = σ xy = ecρ B

Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Efeito Hall Quˆantico ( ) 3 2 P i ê i ψ = Eψ (2m i ) 1/2 i=1 E = 2 k 2 x 2m 1 + 2 ky 2 2m 2 + 2 kz 2

10 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Efeito Hall Quˆantico ( ) 3 2 P i ê i ψ = Eψ (2m i ) 1/2 i=1 E = 2 k 2 x 2m ky 2 2m kz 2 2m 3. P (P + ea); A = (0, Bx, 0) ( P 2 x 2m 1 + ( ky+ebx)2 2m kz 2 Fazendo E = E ) 2m 3 ψ = Eψ ( ) 2 kz 2 2m e 3 x 0 = ( P 2 x 2m + mω2 c 2 (x x 0) 2 ) φ = E φ Osciladoa harmônico com ω c = E(n, B, l) = 2 k 2 z 2m 3 + ( n ) ωc ( ky eb eb (m 1 m 2 ) 1 2 ) :. Jose R. Alvarez e Peter Rez. Solid State Communications, Vol. 108, No. 1, 37. (1998). Checkelsky J. G. et al,. Nature Physics 8, (2012).

11 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Efeito Hall Quˆantico Jose R. Alvarez e Peter Rez. Solid State Communications, Vol. 108, No. 1, 37. (1998). Checkelsky J. G. et al,. Nature Physics 8, (2012).

12 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Interpretação do efeito Hall quˆantico Comprimento magnético l c = ( ) 1 c 2 eb. Se imaginamos os estados de Landau como pequenos discos de área 2πlc 2, A 2πl 2 c em uma área A da amostra temos estados disponíveis. Degenerescência em cada nível de Landau n; ρ L = 1 = eb 2πlc 2 c. Fator de preenchimento dos níveis de Landau: η = ρ ρ L. Um valor inteiro de η corresponde a um preenchimento completo. Dessa forma: R H = B ρec = ρ L e 2 ρ INTERPRETAÇÃO!!! R H = e 2 η : σ xy = ηe2

13 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

14 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Estados topológicos na matéria D. J. Thouless et al., Phys. Rev. Lett 49, 405 (1982). Y. G. Yao et al., Phys. Rev. Lett 92, (2004). Checkelsky J. G. et al., Nature Physics 8, (2012).

15 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Relação de um observável com um invariante topológico Quantização da conductividade Hall σ xy = e2 integer

16 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

17 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Modelo de Hofstadter Férmions em uma rede quadrada bidimensional sob ação de um campo magnético B(r).

18 Introdução QHE Efeito Hall Quântico de Spin Fenomenologia Estados topológicos Modelo de Hofstadter Estados de Borda

19 Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

20 Efeito Hall Quˆantico de Spin

21 Efeito Hall Quˆantico de Spin J. Maciejko, T. L. Hughes e S. C. Zhang, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 2, (2011).

22 Efeito Hall Quˆantico de Spin J. Maciejko, T. L. Hughes e S. C. Zhang, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 2, (2011).

23 Observação experimental do QSH no poço quˆantico de HgTe/CdTe O acoplamento spin-órbita é fundamental para a descrição destes sistemas! M. König et al., Science 318, 766 (2007).

24 Predição teórica do QSH no poço quˆantico de HgTe/CdTe B. A. Bernevig, T. L. Hughes, S. C. Zhang. Science 314, 1757 (2006).

25 Inversão de Banda

26 Inversão de Banda

27 Inversão de Banda

28 Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

29 Grafeno H = t c i c j + h.c. E q ± = v F (σ p) K i, j

30 Modelo de Haldane The external B-field is not necessary to obtain quantized σ xy. One just needs a time-reversal breaking perturbation.

31 Modelos de Haldane H = t 1 c i c j+t 2 e iv i jφ c i c j+m ξ i c i c i K i, j i, j i H ±K = v F (σ p)+m K± σ z Sendo M K± = M 3 3t 2 sin φ. Para férmions spinless : Para φ = 0, π,..., K + τ K ; M K+ = M K No caso contrario, quebra de τ; M K+ M K

32 Outline 1 Introdução 2 Efeito Hall Quˆantico Fenomenologia Estados topológicos na matéria Modelo de Hofstadter 3 Efeito Hall Quˆantico de Spin Fenomenologia Modelo de Haldane Modelo de Kane e Mele

33 Modelo de Kane e Mele Modelo de Kane e Mele duas copias H Haldane H KM = H spin H Haldane H = t 1 c iα c jα + i, j α i, j αβ it 2 v i j s z αβ c iα c jβ + M ξ i c iα c iα iα

34 Modelo de Kane e Mele H e f f KM = L v F(τ x P x τ y p y ) + M K± σ z τ z + ML τ z j x = (σ xy + σ xy)e y = 0; j s x = 2e (σ xy σ xy)e y = ± e 2π E y

35 Modelo de Kane e Mele j x = (σ xy + σ xy)e y = 0; j s x = 2e (σ xy σ xy)e y = ± e 2π E y

36 Modelo de Kane e Mele V S O = 4m 2 S ( V p) c2

37 OBRIGADO...

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